Riallineamento di due scansioni

L'algoritmo per il riallineamento delle mappe viene impiegato allo stesso modo sia nel caso di due singole scansioni, sia nel caso si vogliano calcolare i parametri di rototraslazione tra la mappa parziale e quella globale.

L'algoritmo IDC, introdotto nel capitolo precedente, accoppia i punti appartenenti a due scansioni mediante due regole: CPR (Closest Point Rule) e MRPR (Matching Range Point Rule).

Nell'implementazione dell'algoritmo è stata usata una soglia, posta a $r_{max}/10$ per evitare accoppiamenti errati tra i punti delle due mappe.

Una volta generate tutte le coppie la soluzione del problema dei minimi quadrati fornisce i valori di $\omega$ e $T$, che definiscono i parametri di rototraslazione necessari per il riallineamento delle mappe considerate. Essi vengono ottenuti minimizzando la seguente funzione, che definisce la distanza tra le scansioni.

Se $n$ è il numero di coppie ottenute dall'applicazione delle due regole precedenti e $P_i(x_i,y_i), P'_i(x'_i,y'_i)$ sono due punti accoppiati appartenenti alle mappe da riallineare, la funzione distanza ha la seguente espressione:

$$\begin{split}E_{dist}(\omega,T) = & \sum_{i=1}^{n} \vert R_{\... ...sin \omega + y_i \cos \omega + T_y - y'_i)^2 \bigg) \end{split}$$

Minimizzando $E_{dist}$, si ottiene la soluzione in forma chiusa per $T_x$, $T_y$, $\omega$. Tali parametri sono calcolabili tramite le seguenti formule:

$$\begin{split}\omega &= \arctan \frac{S_{xy'} - S_{yx'}}{S_{xx... ...overline{x} \sin \omega + \overline{y} \cos \omega) \end{split}$$

dove

$$\begin{split}\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i ~~... ...i=1}^{n} (y_i - \overline{y})(x'_i - \overline{x}') \end{split}$$